Question

18．已知f（x）=lnx+ax²-ax+5，a∈R．
（1）若函数f（x）在x=1处有极值，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数得到$f′（x）=\frac{1}{x}+2ax-a$，根据f（x）在x=1处有极值便可得到f′（1）=0，从而可求出a的值，并可验证该值成立；
（2）根据f（x）在区间（0，+∞）内单调递增便可得出f′（x）≥0恒成立，进而得出2ax²-ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立，这样讨论a的值：a＜0，a=0，和a＞0这三种情况，对每种情况验证是否满足条件，从而求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），$f′（x）=\frac{1}{x}+2ax-a$；
∵f（x）在x=1处有极值，∴f′（1）=1+2a-a=0；
解得：a=-1；
此时${f^'}（x）=\frac{1}{x}-2x+1=\frac{-（2x+1）（x-1）}{x}$；
当0＜x＜1时f′（x）＞0，当x＞1时f′（x）＜0，符合题意；
∴实数a的值为-1；
（2）∵函数f（x）在区间（0，+∞）内单调递增；
∴$f'（x）=\frac{1}{x}+2ax-a=\frac{{2a{x^2}-ax+1}}{x}≥0$在（0，+∞）恒成立；
即2ax²-ax+1≥0在（0，+∞）恒成立；
当a＜0时，显然不符合题意；
当a=0时，1≥0恒成立，符合题意；
当a＞0时，要使$2a{x^2}-ax+1=2a{（x-\frac{1}{4}）^2}+1-\frac{a}{8}≥0$恒成立；
需$1-\frac{a}{8}≥0$，解得0＜a≤8；
综上可知实数a的取值范围是[0，8]．

点评 考查基本初等函数导数的求法，函数极值的定义，函数在极值点处导数的取值情况，函数的单调性和函数导数符号的关系，要熟悉二次函数的图象．