Question

17．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，则曲线C上的点到直线$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=2t}\end{array}\right.$（t为参数）的距离的最小值为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$-1．

Answer 1

分析 曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x²+y²=2x．配方可得圆心C，r．由曲线C上的点到直线$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=2t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程：2x-y+2=0，利用点到直线的距离可得圆心C到直线的距离d．即可得出曲线C上的点到直线$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=2t}\end{array}\right.$（t为参数）的距离的最小值为d-r．

解答 解：曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x²+y²=2x．配方为（x-1）²+y²=1．
可得圆心C（1，0），r=1．
由曲线C上的点到直线$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=2t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程：2x-y+2=0，
∴圆心C到直线的距离d=$\frac{|2-0+2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∴曲线C上的点到直线$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=2t}\end{array}\right.$（t为参数）的距离的最小值为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$-1．
故答案为：$\frac{4\sqrt{5}}{5}$-1．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．