Question

13．已知函数f（x）=|x+1|-|x|+a．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=0，求得函数f（x）的解析式，根据解析式分别求得f（x）≥0的解集；
（2）u（x）=|x+1|-|x|，做出y=u（x）和y=x的图象，方程f（x）=x恰有三个不同的实根，转化成y=u（x）与y=x的图象始终有3个交点，根据函数图象即可求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=0时，$f（x）=|{x+1}|-|x|=\left\{{\begin{array}{l}{-1，x＜-1}\\{2x+1，-1≤x＜0}\\{1，x≥0}\end{array}}\right.$，
所以当x＜-1时，f（x）=-1＜0，不合题意；
当-1≤x＜0时，f（x）=2x+1≥0，解得$-\frac{1}{2}≤x＜0$；
当x≥0时，f（x）=1＞0，符合题意．
综上可得，f（x）≥0的解集为$[-\frac{1}{2}，+∞）$．
（2）设u（x）=|x+1|-|x|，y=u（x）的图象和y=x的图象如图所示．

易知y=u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位），与y=x的图象始终有3个交点，
从而-1＜a＜0．
所以实数a的取值范围为（-1，0）．

点评 本题主要考查绝对值不等式求解，函数与方程的应用，分段函数的图象和性质，综合性较强，属于中档题．