Question

18．解方程x²+$\frac{{x}^{2}}{（x+1）^{2}}$=3．

Answer 1

分析 令t=x+1（t≠0），则x=t-1，代入原方程转化为关于t的方程，求得$t+\frac{1}{t}$的值，进一步求出t，则x的值可求．

解答 解：令t=x+1（t≠0），
则x=t-1，
则方程x²+$\frac{{x}^{2}}{（x+1）^{2}}$=3化为$（t-1）^{2}+\frac{（t-1）^{2}}{{t}^{2}}=3$，
即${t}^{2}-2t+1+\frac{{t}^{2}-2t+1}{{t}^{2}}=3$，
∴${t}^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}+2-2（t+\frac{1}{t}）-3=0$，
∴$（t+\frac{1}{t}）^{2}-2（t+\frac{1}{t}）-3=0$，解得$t+\frac{1}{t}=-1$或$t+\frac{1}{t}=3$．
若$t+\frac{1}{t}=-1$，则t²+t+1=0，此方程无解；
若$t+\frac{1}{t}=3$，则t²-3t+1=0，∴t=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，
则x=t-1=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查分式方程的解法，训练了换元法，是中档题．