Question

10．如图，AB是圆O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，
（1）求证：△ACE∽△CBE；
（2）若AB=4，设OE=x（0＜x＜2），CE=y，请求出y关于x的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到AC与BC垂直，即三角形ABC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余得到一对角互余，再由CD与AB垂直，得到三角形ACE与三角形BCE都为直角三角形，同理得到一对角互余，等量代换得到一对角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似即可得证；
（2）连接OC，由AB垂直于CD，在直角三角形OCE中，由OE=x，OC=2，利用勾股定理表示出CE，代入CE=y中，即可得到y关于x的函数解析式．

解答 证明：（1）∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AEC=∠BEC=90°，
∴∠CAB+∠ACE=90°，
∴∠CBA=∠ACE，
∴△ACE∽△CBE；
解：（2）连接OC，
∵AB=4，
∴OC=2，
在Rt△OCE中，OE=x，OC=2，
根据勾股定理得：CE=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
∵CE=y，
∴y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$（0＜x＜2）．

点评 此题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定，以及直角三角形的性质，熟练掌握定理是解本题的关键．