Question

【题目】已知函数，其中无理数.

（Ⅰ）若函数有两个极值点，求的取值范围；

（Ⅱ）若函数的极值点有三个，最小的记为，最大的记为，若的最大值为，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】分析：（Ⅰ）先对函数求导，构造，则函数有两个极值点等价于 有两个不等的正实根，对函数求导，然后对和进行讨论，可得函数的单调性，结合，即可求得的取值范围；（Ⅱ）对函数求导，由有三个极值点，则有三个零点，1为一个零点，其他两个则为的零点，结合（Ⅰ），可得的两个零点即为的最小和最大极值点，，即，令，由题知，则，令，利用导数研究函数的单调性，从而可求得的最小值即的最小值.

详解：（Ⅰ），

令，，

∵有两个极值点

∴ 有两个不等的正实根

∵

∴当时，，在上单调递增，不符合题意．

当时，当时，，当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增．

又∵，当→时，→

∴

∴

综上，的取值范围是．

（Ⅱ）．

∵有三个极值点

∴有三个零点，1为一个零点，其他两个则为的零点，由（Ⅰ）知.

∵

∴的两个零点即为的最小和最大极值点，，即.

∴

令，由题知.

∴，，

∴

令，，则，令，则．

∴在上单调递增

∴

∴在上单调递减

∴

故的最小值为．