题目内容
【题目】已知函数.
(1)若对任意的,都有恒成立,求的最小值;
(2)设,若为曲线上的两个不同的点,满足,且,使得曲线在点处的切线与直线平行,求证:.
【答案】(1)1;(2)证明见解析
【解析】
(1) 对任意的x∈[0,+∞),都有f(x)≥g(x)恒成立aln(x+1)﹣x.
令h(x)=aln(x+1)﹣x(x≥0).利用导数的运算法则可得h′(x).
分类讨论:当a≥1时,当a<1时,只要验证最小值是否大于0即可得出.
(2)p(x)=f(x﹣1)=alnx,kAB.利用导数的运算法则可得.由于曲线y=f(x)在x3处的切线与直线AB平行,可得.利用p′(x)在定义域内单调性质要证:x3.即证明.即证明.变形可得,令,则t>1.要证明的不等式等价于(t+1)lnt>2(t﹣1).构造函数q(t)=(t+1)lnt﹣2(t﹣1),(t>1).利用导数研究其单调性即可证明.
(1)恒成立恒成立,
令,
则,
(i)若,则恒成立,
函数在为单调递增函数,
恒成立,又,
符合条件.
(ii)若,由,可得,
解得和(舍去),
当时,;
当时,;
∴,这与h(x)≥0相矛盾,应舍去.
综上,,的最小值为1.
(2),,
又,,
,
由,易知其在定义域内为单调递减函数,
欲证证明,
即,
变形可得:,
令,原不等式等价于,
等价于,
构造函数,
则,
令,
当时,,
在上为单调递增函数,,
在上为单调递增函数,
在上恒成立,
成立,得证.
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