题目内容
【题目】已知函数
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,求函数
的零点个数.
【答案】(1)当时,
在
上单调递增;当
时,
在
上递增,在
上递减. (2)当
时,函数
没有零点;当
时,函数
有一个零点;当
时,函数
有两个零点.
【解析】
(1)由题意,求得函数的导数,分类讨论,利用导数,即可求解函数的单调区间;
(2) 由(1)可知,利用函数的单调性,求得函数的最大值,分类讨论,即可得到函数的零点个数.
的定义域为
.
(1) ,
①当时,
,故
在
上单调递增;
②当时,令
,则
,
在上,
,
单调递增,
在上,
,
单调递减.
综上所述:当时,
在
上单调递增;当
时,
在
上递增,在
上递减.
(2) 由(1)可知,当时,
在
上递增,在
上递减.
故,
①当,即
时,
,此时函数
没有零点.
②当,即
时,
,此时函数
有一个零点.
③当,即
时,
,
令且
,则
,
,
故,故
在
有一个零点;
再者,,
令,则
;再令
,
则,故
在
上单调递减,
故,
.
故,故
在
上有一个零点.
故在
上有两个零点.
综上所述:当时,函数
没有零点;当
时,函数
有一个零点;当
时,函数
有两个零点.
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