Question

若不等式x²+ax+4≥0对一切x∈（0，1]恒成立，则a的取值范围为（　　）

• A、[0，+∞）
• B、[-4，+∞）
• C、[-4，4]
• D、[-5，+∞）

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：x²+ax+4≥0对一切x∈（0，1]恒成立?a≥-x-

4

x

对一切x∈（0，1]恒成立，构造函数g（x）=-x-

4

x

，x∈（0，1]，则a≥g（x）_max，易求g（x）_max=-5，从而可得a的取值范围．

解答： 解：∵x²+ax+4≥0对一切x∈（0，1]恒成立，
∴a≥-x-

4

x

对一切x∈（0，1]恒成立，
令g（x）=-x-

4

x

，x∈（0，1]，
则a≥g（x）_max．
∵g′（x）=-1+

4

x2

=

4-x2

x2

，
∴当x∈（0，1]时，g′（x）＞0，
∴g（x）=-x-

4

x

在（0，1]上单调递增，
∴g（x）_max=g（1）=-1-

4

1

=-5，
∴a≥-5，即a的取值范围为[-5，+∞）．
故选：D．

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查等价转化思想与构造函数的思想，考查函数的单调性与最值的判断与应用，属于中档题．