Question

已知

a

=（1，0），

b

=（0，1），若向量

c

=（m，n）满足（

a

-

c

）（

b

-

c

）=0，则点（m，n）到直线x+y+1=0的距离的最小值等于（　　）

• A、

  1

  2

• B、1
• C、

  2

• D、

  2

  2

Answer 1

考点：点到直线的距离公式

专题：直线与圆

分析：利用数量积运算可得(m-

1

2

)2+(n-

1

2

)2=

1

2

．圆心为C(

1

2

，

1

2

)，半径r=

2

2

．可得圆心C到直线的距离的=

| 1 2 + 1 2 +1|

2

=

2

．点（m，n）到直线x+y+1=0的距离的最小值=d-r．

解答： 解：

a

=（1，0），

b

=（0，1），向量

c

=（m，n）．
∴

a

-

c

=（1-m，-n），

b

-

c

=（-m，1-n）．
∵（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0，
∴-m（1-m）-n（1-n）=0．
∴(m-

1

2

)2+(n-

1

2

)2=

1

2

．
∴圆心为C(

1

2

，

1

2

)，半径r=

2

2

．
∴圆心C到直线的距离的=

| 1 2 + 1 2 +1|

2

=

2

．
则点（m，n）到直线x+y+1=0的距离的最小值=

2

-

2

2

=

2

2

．
故选：D．

点评：本题考查了数量积运算、圆的标准方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．