Question

已知函数f（x）=

ax+b

x2+1

在R上是奇函数，且f（1）=

1

2

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在区间（0，1）上的单调性，并用定义证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性定义求解．
（2）根据函数单调性定义求解证明．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

ax+b

x2+1

在R上是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
即f（1）=

1

2

．f（-1）=-

1

2

．
解得：a=1，b=0，
所以f(x)=

x

x2+1

，
（2）根据对钩函数性质可判断y=x+

1

x

在（0，1）为减函数，且为y＞0，
所以f(x)=

x

x2+1

，在（0，1）上为增函数，
证明：设实数0＜x₁＜x₂＜1，
f（x₁）-f（x₂）=

x1

x 2 1 +1

-

x2

x 2 2 +1

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0（1+x

2 2

）（1+x

2 1

）＞0，
f（x₁）-f（x₂）=

x1

x 2 1 +1

-

x2

x 2 2 +1

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

＜0，
f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）
所以f(x)=

x

x2+1

，在（0，1）上为增函数，

点评：本题考查了函数性质，应用定义解决问题，仔细化简判断．