Question

【题目】已知点为抛物线的焦点，点、在抛物线上，且、、三点共线.若圆的直径为.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过点的直线与抛物线交于点，，分别过、两点作抛物线的切线，，证明直线，的交点在定直线上，并求出该直线.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；定直线

【解析】

（1）由题可知中点为，，设、到准线的距离分别为，.到准线的距离为，由梯形中位线得到方程，再根据抛物线定义求解.

（2）设，，由，得，则，分别设直线的方程为，直线的方程为，联立，方程，求得交点坐标，再由直线方程为，与抛物线联立，利用韦达定理求解.

（1）由题可知中点为，设、到准线的距离分别为，.到准线的距离为，

则，由抛物线定义得，，所以，

所以，即.

所以抛物线的标准方程为.

（2）设，，由，得，则，

所以直线的方程为，直线的方程为，

联立，方程得，即，的点坐标为.

因为过焦点，

由题可知直线的斜率存在，所以设直线方程为，

与抛物线联立得，

所以，，

所以直线，的交点在定直线上.