Question

【题目】已知函数，为的导数，函数在处取得最小值．

（1）求证：；

（2）若时，恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）对求导，令，求导研究单调性，分析可得存在使得，即，即得证；

（2）分，两种情况讨论，当时，转化利用均值不等式即得证；当，有两个不同的零点，，分析可得的最小值为，分，讨论即得解.

（1）由题意，

令，则，知为的增函数，

因为，，

所以，存在使得，即．

所以，当时，为减函数，

当时，为增函数，

故当时，取得最小值，也就是取得最小值．

故，于是有，即，

所以有，证毕．

（2）由（1）知，的最小值为，

①当，即时，为的增函数，

所以，

，

由（1）中，得，即．

故满足题意．

②当，即时，有两个不同的零点，，

且，即，

若时，为减函数，（*）

若时，为增函数，

所以的最小值为．

注意到时，，且此时，

（ⅰ）当时，，

所以，即，

又

，

而，所以，即．

由于在下，恒有，所以．

（ⅱ）当时，，

所以，

所以由（*）知时，为减函数，

所以，不满足时，恒成立，故舍去．

故满足条件．

综上所述：的取值范围是．