Question

【题目】如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面.

（1）若为边的中点，求证：平面.

（2）求证：.

（3）若为边的中点，能否在上找出一点，使平面 平面？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）证明，利用面面垂直的性质即可证明（2）证平面即可得（3）存在点，且为的中点，证明平面，即可证出平面 平面.

证明：连接，，

因为是等边三角形，为边的中点，所以．

因为平面平面，所以平面，所以．

因为四边形是菱形，所以．又因为，所以是等边三角形，所以．又因为，，所以平．

（2）证明：因为，，，所以平面．又因为 平面，所以．

（3）存在点，且为的中点．证明如下：连接交于，连接，

因为且，又，分别是，的中点，连接，所以且，所以四边形是平行四边形，所以．又因为，所以．由（1）知平面，所以平面．又 平面，所以平面平面．