题目内容
【题目】已知在平面直角坐标系
中，动点
与两定点
，
连线的斜率之积为
，记点的轨迹为曲线
.
（1）求曲线的方程；
（2）已知点
，过原点
且斜率为
的直线
与曲线交于
两点（点
在第一象限），求四边形
面积的最大值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）设
，写出动点
与两定点
，
连线的斜率，由已知，可求出
的方程，即可求出曲线
的方程.
（2）写出直线
的方程，与曲线的方程联立，可求出交点
的坐标；求出直线
的方程，即可求出到的距离，从而可求出
，结合基本不等式可求出面积的最大值.
解：（1）设，
，
，化简得：
又
，
动点的轨迹方程为
（2）设直线的方程为
，由
得
，
，
，
，
，
，
直线的方程为
.
点
到直线的距离
同理：点
到直线的距离
，因为
，且
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立.四边形
面积的最大值为
【题目】每个国家对退休年龄都有不一样的规定，从2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：
年龄段（单位：岁） |
|
|
|
|
|
|
被调查的人数 |
|
|
|
|
|
|
赞成的人数 |
|
|
|
|
|
|
（1）从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此人年龄在
的概率为
，求出表格中
的值；
（2）若从年龄在
的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为
，求的分布列及数学期望.
【题目】某车间为了规定工时额定，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了
次试验，得到数据如下：
零件数 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
加工时间 | 64 | 70 | 77 | 82 | 90 | 97 |
（1）试对上述变量
与
的关系进行相关性检验，如果与具有线性相关关系，求出对的回归直线方程；
（2）根据（1）的结论，你认为每小时加工零件的数量额定为多少（四舍五入为整数）比较合理？
附：相关性检验的临界值表
| 小概率 | |
0.05 | 0.01 | |
3 | 0.878 | 0.959 |
4 | 0.811 | 0.917 |
5 | 0.754 | 0.874 |
6 | 0.707 | 0.834 |
，
参考数据：
；
|
|
|
|
|
17950 | 9100 | 39158 | 1750 | 758 |
【题目】中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
平均每天锻炼的时间/分钟 |
|
|
|
|
|
|
总人数 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
将学生日均体育锻炼时间在
的学生评价为“锻炼达标”.
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的
列联表；
锻炼不达标 | 锻炼达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合计 |
并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？
（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，
（i）求这10人中，男生、女生各有多少人？
（ii）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为
，求的分布列和数学期望.
参考公式：
，其中
.
临界值表
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
