Question

7．已知p是曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosβ}\\{y=\sqrt{3}sinβ}\end{array}\right.$上一点，F₁，F₂是该曲线的两个焦点，若△F₁PF₂内角平分线的交点到三边上的距离为1，则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{9}{4}$
• C． -$\frac{9}{4}$
• D． 0

Answer 1

分析 将曲线参数方程转化为普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．则a²=4，b²=3，c²=1．设∠F₁PF₂=θ，利用余弦定理和正弦定理求得θ的值，易得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的值．

解答 解：由曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosβ}\\{y=\sqrt{3}sinβ}\end{array}\right.$得到：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
则a²=4，b²=3，c²=1．
∵三角△F₁PF₂的内切圆半径为1，设∠F₁PF₂=θ，
∴cosθ=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$
=$\frac{（|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|）^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$
=$\frac{（2a）^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|-4{c}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$
=$\frac{2{b}^{2}-|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$
=$\frac{2{b}^{2}}{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$-1．
而S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|sinθ=$\frac{sinθ}{2}$•$\frac{2{b}^{2}}{cosθ+1}$=b²•tan$\frac{θ}{2}$，
∴S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$（2a+2c）×1=b²•tan$\frac{θ}{2}$，
即2+1=3tan$\frac{θ}{2}$，
故tan$\frac{θ}{2}$=1，θ=90°，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0．
故选：D．

点评 本题考查了参数方程转化为普通方程，正弦定理、余弦定理，考查计算能力，属于中档题型．