Question

19．已知函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$．
（I）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（II）用定义证明f（x）在（0，1）上是减函数；
（III）函数f（x）在（-1，0）上的单调性如何？（直接写出答案，不要求写证明过程）．

Answer 1

分析 （I）函数的定义域为{x|x≠0}，直接利用奇偶性定义证明即可；
（II）直接利用函数单调性定义证明即可；
（III）根据函数的性质（I）（II）可直接得出结果；

解答 解：（I）由题意知：x≠0；
∴函数的定义域为{x|x≠0}；
又∵$f（-x）=-x-\frac{1}{x}=-（x+\frac{1}{x}）=-f（x）$；
∴函数f（x）为奇函数；
（II）设0＜x₁＜x₂＜1则
$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{1}{x_1}-{x_2}-\frac{1}{x_2}=（{x_1}-{x_2}）-\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=（{x_1}-{x_2}）（1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}）$；
∵0＜x₁＜x₂＜1；
∴${x_1}-{x_2}＜0，1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}＜0$；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）；
∴函数f（x）在（0，1）上是减函数；
（III）函数f（x）在（-1，0）上是减函数．

点评 本题主要考查了函数的奇偶性定义、单调性定义证明等函数基本性质，属基础题．