Question

已知函数f（x）=1+2sin（2x-

π

3

）．
（1）写出函数f（x）的振幅，周期，单调减区间；
（2）函数g（x）=1+2sin（2x）的图象经过怎样的变换可以得到f（x）的图象？
（3）若不等式f（x）-m＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）直接写出振幅，由周期公式求得周期，利用复合函数的单调性求解函数的减区间；
（2）化f（x）=1+2sin（2x-

π

3

）=1+2sin2（x-

π

6

），根据x的变化得答案；
（3）求出f（x）在x∈[

π

4

，

π

2

]上的最大值，由m+2大于该最大值得答案．

解答： 解：（1）函数f（x）=1+2sin（2x-

π

3

）的振幅A=2，
周期T=

2π

2

=π，
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ，得

5π

12

+2kπ≤x≤

7π

12

+2kπ，k∈Z．
∴函数的减区间为：[

5π

12

+2kπ，

7π

12

+2kπ]，k∈Z；
（2）∵f（x）=1+2sin（2x-

π

3

）=1+2sin2（x-

π

6

），
∴函数g（x）=1+2sin2x的图象向右平移

π

6

个单位可以得到f（x）的图象；
（3）∵

π

4

≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

．
当2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

12

时，f（x）_max=3．
不等式f（x）-m＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，
则m+2＞3，即m＞1．

点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象好性质，考查了三角函数的图象平移，训练了三角函数最值的求法，考查了数学转化思想方法，是中档题．