Question

已知实数x满足不等式2（log 

1

2

x）²+7log 

1

2

x+3≤0
（1）求x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求函数f（x）=（log₂

x

4

）•（log₂

x

2

）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：对数的运算性质,指、对数不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由不等式2（log 

1

2

x）²+7log 

1

2

x+3≤0，化为(2log

1

2

x+1)(log

1

2

x+3)≤0，利用一元二次不等式的解法和对数函数的单调性即可得出．
（2）函数f（x）=（log₂

x

4

）•（log₂

x

2

）=（log₂x-2）（log₂x-1）=(log2x-

3

2

)2-

5

4

，由

2

≤x≤8，可得

1

2

≤log2x≤3．再利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵不等式2（log 

1

2

x）²+7log 

1

2

x+3≤0，
∴(2log

1

2

x+1)(log

1

2

x+3)≤0，
解得-3≤log

1

2

x≤-

1

2

，
∴(

1

2

)-

1

2

≤x≤(

1

2

)-3，
解得

2

≤x≤8．
∴x的取值范围是

2

≤x≤8．
（2）函数f（x）=（log₂

x

4

）•（log₂

x

2

）=（log₂x-2）（log₂x-1）
=(log2x)2-3log2x+2
=(log2x-

3

2

)2-

5

4

，
∵

2

≤x≤8，
∴

1

2

≤log2x≤3．
∴当log₂x=

3

2

时，函数f（x）取得最小值-

5

4

．
而当x=

2

时，f(

2

)=-

1

4

；而当x=8时，f（8）=2．
∴当x=8时，函数f（x）取得最大值2．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法、对数函数的单调性、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．