Question

【题目】已知函数（k为常数）是实数集R上的奇函数，其中e为自然对数的底数。

（1）求k的值；

（2）讨论关于x的方程如的根的个数。

Answer 1

【答案】（1）k=0，（2）见解析

【解析】

（1）因为定义域是实数集R，直接利用奇函数定义域内有0，则f（﹣0）＝﹣f（0）即f（0）＝0，即可求k的值；

（2）先把方程转化为x2﹣2ex+m，令F（x）（x＞0），G（x）＝x2﹣2ex+m （x＞0），再利用导函数分别求出两个函数的单调区间，进而得到两个函数的最值，比较其最值即可得出结论．

（1）因为函数f（x）＝（k为常数）是实数集R上的奇函数，

所以f（﹣0）＝﹣f（0）即f（0）＝0，

则ln（e0+k）＝0解得k＝0，

显然k＝0时，f（x）＝x是实数集R上的奇函数；

（2）由（1）得f（x）＝x

∴方程转化为x2﹣2ex+m，令F（x）（x＞0），G（x）＝x2﹣2ex+m （x＞0），

∵F'（x），令F'（x）＝0，即0，得x＝e

当x∈（0，e）时，F'（x）＞0，∴F（x）在（0，e）上为增函数；

当x∈（e，+∞）时，F'（x）＜0，F（x）在（e，+∞）上为减函数；

当x＝e时，F（x）max＝F（e）

而G（x）＝（x﹣e）2+m﹣e2 （x＞0）

∴G（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数；

当x＝e时，G（x）min＝m﹣e2

∴当m，即m时，方程无解；

当m，即m时，方程有一个根；

当m，即m时，方程有两个根；