题目内容
【题目】如果存在常数
，使得数列
满足：若
是数列中的一项，则
也是数列 中的一项，称数列为“兑换数列”，常数是它的“兑换系数”.
（1）若数列：
是“兑换系数”为的“兑换数列”，求
和的值；
（2）已知有穷等差数列
的项数是
，所有项之和是
，求证：数列是“兑换数列”，并用和表示它的“兑换系数”；
（3）对于一个不小于3项，且各项皆为正整数的递增数列
，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由.
【答案】（1）a=6,m=5；（2）见解析；（3）
【解析】
本试题主要考查了数列的运用。
解：（1）因为数列：1,2,4(m>4)是“兑换系数”为a的“兑换数列”
所以a-m,a-4,a-2,a-1也是该数列的项，且a-m<a-4<a-2<a-1-------------------1分
故a-m=1,a-4=2-------------------3分
即a=6,m=5 -------------------4分
（2）设数列
的公差为d，因为数列是项数为
项的有穷等差数列
若
即对数列中的任意一项
-------------------6分
同理可得：若
，也成立，
由“兑换数列”的定义可知，数列是 “兑换数列”；-------------------8分
又因为数列所有项之和是B，所以
，即------10分
（3）假设存在这样的等比数列
，设它的公比为q,(q>1)，
因为数列为递增数列，所以
又因为数列为“兑换数列”，则
，所以
是正整数
故数列必为有穷数列，不妨设项数为n项，------------------12分
则
----------14分
① n=3则有
，又
，由此得q=1，与q>1矛盾；-------------------15分
②若
。由
，
即(
)，故q=1，与q>1矛盾；-------------------17分
综合①②得，不存在满足条件的数列。-------------------18分
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