Question

直线l过双曲线的右焦点，斜率为

2

，若l与双曲线的两个交点分别在其两支上，则双曲线的离心率的取值范围为（　　）

• A、[

  2

  ，+∞）
• B、（2，+∞）
• C、[

  3

  ，+∞）
• D、（

  3

  ，+∞）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，右焦点坐标F（c，0），则l的方程为y=

2

（x-c），代入椭圆方程得（b²-2a²）x²+4a²cx-（2a²c²+a²b²）=0，l与双曲线的两个焦点分别在双曲线的左右两支上，等价于该方程有一正一负两个实数解，由此能求出e的取值范围．

解答： 解：设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，右焦点坐标F（c，0），
则l的方程为y=

2

（x-c），
把y=

2

（x-c）代入

x2

a2

-

y2

b2

=1，
整理得（b²-2a²）x²+4a²cx-（2a²c²+a²b²）=0，
l与双曲线的两个焦点分别在双曲线的左右两支上，
等价于该方程有一正一负两个实数解，
即x₁x₂=-

2a2c2+a2b2

b2-2a2

≤0，
即b²-2a²＞0，即b²＞2a²，
∴e²=

c2

a2

=1+

b2

a2

＞3，
∴e∈（

3

，+∞）．
故选：D．

点评：本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意韦达定理的合理运用．