Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=$\sqrt{2}$，PD⊥平面ABCD，E，F分别是CD，PB的中点．
求证：（Ⅰ）CF∥平面PAE；
（Ⅱ）平面PAE⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明CF∥平面PAE；
（Ⅱ）根据线面垂直的判定定理证明AE⊥平面PBD，即可证明平面PAE⊥平面PBD．

解答 证明：（Ⅰ）取AB的中点N，连接FN，EN，
在△PAB中，FN为中位线，
∴FN∥AB，FN=$\frac{1}{2}$AB，
∵CE=$\frac{1}{2}$AB，CE∥AB，
∴CE∥FN，CE=FN，
∴四边形CENF为平行四边形，
∴CF∥EN，
∵EN?面PAE，CF?面PAE，
∴CF∥平面PAE；
（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PD⊥AE．
设AE∩BD=M，∵E为CD的中点，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{DM}{BM}=\frac{EM}{AM}=\frac{1}{2}$，
则△DME∽△AMB，
在矩形ABCD中，AE=$\sqrt{3}$，BD=$\sqrt{6}$，
∴DM²+EM²=$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$=DE²，
即△DME为直角三角形，即AE⊥BD，
∵PD∩BD=D，PD?面PBD，BD?面PBD，
∴AE⊥平面PBD，
∵AE?平面PAE，
∴平面PAE⊥平面PBD．

点评 本题主要考查空间线面平行和线面垂直、面面垂直的判定，根据相应的判定定理是解决本题的关键．