Question

13．已知定义在R上的函数f（x）对于任意的x∈R都有f（x+4）=-$\frac{1}{f（x）}$，设a_n=f（n）（n∈N^*），数列{a_n}中，不同的值至多有（　　）个．

• A． 12个
• B． 8个
• C． 6个
• D． 4个

Answer 1

分析 由题意可得f（x+8）=-$\frac{1}{f（x+4）}$=f（x），而a_n=f（n），可得a_n+8=a_n，即可得出．

解答 解：∵定义在R上的函数f（x）对于任意的x∈R都有f（x+4）=-$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+8）=-$\frac{1}{f（x+4）}$=f（x），
∵a_n=f（n），∴a_n+8=a_n
数列{a_n}中，不同的值至多有8个．
故选：B．

点评 本题考查了函数的周期性与数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．