Question

2．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$（sin²x-cos²x）+2sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）设x∈[0，$\frac{π}{3}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），利用周期公式即可计算得解．
（2）由已知可求-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{3}$，利用正弦函数的性质即可得解f（x）的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=-$\sqrt{3}$（cos²x-sin² x）+2sinxcosx
=-$\sqrt{3}$cos 2x+sin 2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期为π．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]，
∴-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{3}$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴-$\sqrt{3}$≤2sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤$\sqrt{3}$，
∴值域为[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的图象和性质，属于基础题．