Question

已知直线y=mx与函数f(x)=

2-( 1 3 ) x   ，x≤0 1 2 x 2   +1，x＞0.

的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：当m≤0时，不满足条件；当m＞0时，可得直线y=mx和函数y=

1

2

x²+1（x＞0）的图象有2个交点，即方程mx=

1

2

x²+1在（0，+∞）上有2个实数根根，可得

△=m2-2＞0 x1+x2=m＞0 x1•x2=2＞0

，由此解得m的范围．

解答： 解：当m≤0时，直线y=mx和函数f（x）的图象只有一个交点；
当m＞0时，直线y=mx和函数y=2-(

1

3

)x的图象只有一个交点，
∴直线y=mx和函数y=

1

2

x²+1（x＞0）的图象有2个交点，即方程mx=

1

2

x²+1在（0，+∞）上有2个实数根．
∴

△=m2-2＞0 x1+x2=m＞0 x1•x2=2＞0

，解得m≥

2

，
故答案：[

2

，+∞）．

点评：本题考查分段函数、曲线的切线斜率，渗透数形结合思想，属于中等题．