Question

12．函数f（x）=4cos（ωx-$\frac{π}{6}$）sinωx-2cos（2ωx+π），其中ω＞0．
（1）求函数y=f（x）的值域；
（2）若f（x）的最小正周期为π，求f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，π]上的增区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换可得f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+1，利用正弦函数的有界性可求函数y=f（x）的值域；
（2）利用f（x）的最小正周期为π，可求得ω=1，及y=sinx在每个闭区间[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）上为增函数即可求得f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，π]上的增区间．

解答 解：（1）f（x）=4cos（ωx-$\frac{π}{6}$）sinωx-2cos （2ωx+π）
=2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+2sin²ωx+2cos2ωx
=$\sqrt{3}$sin2ωx+cos2ωx+1
=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+1，…（4分）
因为-1≤sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）≤1，所以函数y=f（x）的值域为[-1，3]…（6分）
（2）因为f（x）的最小正周期为π，所以ω=1，y=sin x在每个闭区间[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）上为增函数，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z），
故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1在每个闭区间[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）上为增函数．…（8分）
当k=0和k=1时，得f（x在区间[-$\frac{π}{2}$，π]上的增区间为[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]和[$\frac{2π}{3}$，π]．…（12分）

点评 题考查三角函数中的恒等变换应用，突出考查正弦函数的图象与性质，考查转化思想与化归意识，属于中档题．