Question

2．已知f（x）=|x+2|-|2x-1|，M为不等式f（x）＞0的解集．
（1）求M；
（2）求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，解关于x的不等式，求出M的范围即可；
（2）根据绝对值的性质证明即可．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-3，x＜-2}\\{3x+1，-2≤x≤\frac{1}{2}}\\{-x+3，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
当x＜-2时，由x-3＞0得，x＞3，舍去；
当-2≤x≤$\frac{1}{2}$时，由3x+1＞0得，x＞-$\frac{1}{3}$，即-$\frac{1}{3}$＜x≤$\frac{1}{2}$；
当x＞$\frac{1}{2}$时，由-x+3＞0得，x＜3，即$\frac{1}{2}$＜x＜3，
综上，M=（-$\frac{1}{3}$，3）；
（2）证明：∵x，y∈M，∴|x|＜3，|y|＜3，
∴|x+y+xy|≤|x+y|+|xy|≤|x|+|y|+|xy|=|x|+|y|+|x||y|＜3+3+3×3=15．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．