Question

已知函数f（x）=log₂（2^x+1）-kx为偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（3）若?t∈R，都有f（t²+2t+3）＞f（m），求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）根据偶函数的定义：f（-x）=f（x）即可求出k；
（2）求f′（x），根据f′（x）的符号即可证出f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（3）通过配方求得t²+2t+3≥2，所以根据函数f（x）在[0，+∞）上的单调性求m≥0时，m的取值，再根据偶函数图象关于y轴的对称性求当m＜0时，满足f（t²+2t+3）＞f（m）的m的取值，求这两种情况的m的并集即可求出m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）为偶函数，
∴f（-x）=log2(2-x+1)+kx=log2

2x+1

2x

+kx=log2(2x+1)+(k-1)x=log2(2x+1)-kx；
∴k-1=-k，∴k=

1

2

；
（2）f（x）=log2(2x+1)-

1

2

x，f′（x）=

2x

2x+1

-

1

2

=

2•2x-2x-1

2(2x+1)

=

2x-1

2(2x+1)

，
∵x＞0，∴2^x-1＞0；
∴f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（3）由（2）知f（x）在[0，+∞）上单调递增；
∵f（x）为偶函数，∴函数f（x）在（-∞，0）上单调递减；
t²+2t+3=（t+1）²+2≥2；
∴若m≥0，根据f（x）在[0，+∞）上单调性可得：m＜t²+2t+3，
t²+2t+3的最小值为2，∴0≤m＜2；
若m＜0，根据偶函数关于y轴的对称性知，-2＜m＜0时，f（t²+2t+3）＞f（m）；
∴实数m的取值范围为（-2，2）．

点评：考查偶函数的定义，对数的运算，函数导数符号和函数单调性的关系，对单调性定义的运用，偶函数图象关于原点对称，在对称区间上的函数值的特点．