Question

已知f（x）=

lnx+k

ex

（k为常数），且y=f（x）在x=1处取极值
（1）求k的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）设g（x）=（x²+x）f′（x），证明对任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′(x)=

1 x ex-ex(lnx+k)

e2x

，f′(1)=

e-ke

e2

=0，由此能求出k=1．
（2）由（1）知x＞0，f′(x)=

1

xex

(1-x-xlnx)，令h（x）=1-x-xlnx，x∈（0，+∞），由此利用导数性质能示出f（x）的单调区间．
（3）由已知得g（x）=

x+1

ex

(1-x-xlnx)，x∈（0，+∞），对任意x＞0，g（x）＜1+e^-2等价于1-x-xlnx＜

ex

x+1

(1+e2)，由此利用构造法能证明对任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

解答： （1）解：∵f（x）=

lnx+k

ex

（k为常数），
∴f′(x)=

1 x ex-ex(lnx+k)

e2x

，
∵y=f（x）在x=1处取极值，
∴f′(1)=

e-ke

e2

=0，解得k=1．
（2）解：由（1）知f（x）=

lnx+1

ex

，
∴x＞0，f′(x)=

1

xex

(1-x-xlnx)，
令h（x）=1-x-xlnx，x∈（0，+∞），
当x∈（0，1）时，h（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，
又e^x＞0，∴x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．
（3）证明：∵g（x）=（x²+x）f′（x），
∴g（x）=

x+1

ex

(1-x-xlnx)，x∈（0，+∞），
∴对任意x＞0，g（x）＜1+e^-2等价于1-x-xlnx＜

ex

x+1

(1+e2)，
由（2）知h（x）=1-x-xlnx，x∈（0，+∞），
∴h′（x）=-lnx-2=-（lnx-lne^-2），x∈（0，+∞），
∴当x∈（0，e^-2）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（e^-2，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
∴h（x）的最大值为h（e^-2）=1+e^-2，
∴对任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

点评：本题考查实数值的求法，考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．