Question

若函数f（x）=x²-2x+1+alnx在x₁，x₂取得极值，且x₁＜x₂，则f（x₂）的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：对f（x）求导数，f′（x）=0有两个不同的正实根x₁，x₂，由x₁、x₂的关系，用x₂把a表示出来，求出f（x₂）的表达式最小值即可．

解答： 解：由题意，f（x）=x²-2x+1+alnx的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=2x-2+

a

x

=

2x2-2x+a

x

，
∵f（x）有两个极值点x₁，x₂，
∴f′（x）=0有两个不同的正实根x₁，x₂，
∵2x²-2x+a=0的判别式△=4-8a＞0，解得a＜

1

2

，
方程的两根为x₁=

1- 1-2a

2

，x₂=

1+ 1-2a

2

，
∴x₁+x₂=1，
0＜x₁＜x₂，且x₁+x₂=1，
∴

1

2

＜x₂＜1，a=2x₂-2x22，
∴f（x₂）=x22-2x₂+1+（2x₂-2x22）lnx₂．
令g（t）=t²-2t+1+（2t-2t²）lnt，其中

1

2

＜t＜1，
则g′（t）=2（1-2t）lnt．
当t∈（

1

2

，1）时，g′（t）＞0，
∴g（t）在（

1

2

，1）上是增函数．
∴g（t）＞g（

1

2

）=

1-2ln2

4

．
故f（x₂）=g（x₂）＞

1-2ln2

4

．
故答案为：（

1-2ln2

4

，0）．

点评：本题主要考查最值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力．