题目内容
如图，菱形
的边长为4，
，
.将菱形沿对角线
折起，得到三棱锥
，点
是棱
的中点，
.
（1）求证：
平面
；
（2）求证：平面
平面
；
（3）求二面角
的余弦值.
的边长为4，，.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，.（1）求证：
平面；（2）求证：平面
平面；（3）求二面角
的余弦值.（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
.
.试题分析：（1）利用三角形的中位线平行于相应的底边证明
，然后结合直线与平面平行的判定定理即可证明
平面；（2）先利用翻折时
与的相对位置不变证明
，然后利用勾股定理证明
，并结合直线与平面垂直的判定定理先证明
平面，最终利用平面与平面垂直的判定定理证明平面
平面；（3）作
，连接
，利用（2）中的结论平面，先证明
平面
，进而说明
为二面角的平面角，然后在
中计算
，即可计算二面角的余弦值.试题解析：（1）因为O为AC的中点，M为BC的中点，所以
.因为
平面ABD，
平面ABD，所以平面.（2）因为在菱形ABCD中，
，所以在三棱锥中，.在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，
，所以BD＝4.因为O为BD的中点，所以
.因为O为AC的中点，M为BC的中点，所以
.因为
，所以
，即
.因为
平面ABC，
平面ABC，
，所以平面ABC.因为
平面DOM，所以平面平面.（3）作
于
，连结DE.由（2）知，平面ABC，所以AB.因为
，所以平面ODE.因为
平面ODE，所以
.所以
是二面角的平面角.在Rt△DOE中，
，
，
，所以
.所以二面角的余弦值为.
练习册系列答案
相关题目
的侧棱与底面垂直，
,
, M、N分别是
的中点，点P在线段
上，且
,
取何值，总有
.
时，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
均为全等的直角梯形，且
，
.
平面
；
的余弦值.
中，
底面
，
，
，
为
的中点，点
在
上，且
.
平面
； 
与平面
所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.
中，
平面
．
的充分条件，并给予证明；
，②
；③
为锐角，求平面
与平面
所成锐二面角
的取值范围．
的值.
与平面
有公共点”是真命题，那么下列命题：
，
为直线，
为平面，若
∥
，则
若
，则
，则下列命题为真命题的是（ ）
或 
或