Question

在如图所示的几何体中，四边形均为全等的直角梯形，且，.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）证明过程详见解析；（Ⅱ）.

试题分析：本题考查线面平行的判定以及二面角的求法.线面平行的判断：①判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；②性质：如果两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面；③性质：如果两条平行线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面或在这个平面内；④性质：如果一条直线平行于两个平行平面中的一个，那么这条直线也平行于另一个平面或在这个平面内；⑤性质：如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.第一问是利用线面平行的判定定理证明；第二问建立空间直角坐标系是关键，利用向量法得到平面的一个法向量为，和平面的一个法向量为，再利用夹角公式求夹角的余弦，但是需判断夹角是锐角还是钝角，进一步判断余弦值的正负.
试题解析：（Ⅰ）连结，由题意，可知，
故四边形是平行四边形，所以．
又平面，平面，
所以平面．              5分

（Ⅱ）由题意，两两垂直，
以为轴，为轴建立空间直角坐标系．
设，则，，，．
设平面的一个法向量为，
则，，
又，，
所以，取．
同理，得平面的一个法向量为．
因为，又二面角为钝角，
所以二面角的余弦值．        12分