Question

如图，已知三棱锥的侧棱与底面垂直，,, M、N分别是的中点，点P在线段上，且,

（1）证明：无论取何值，总有.
（2）当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

（1）参考解析；（2）

试题分析：（1）通过建立坐标系，写出相应的点的坐标，表示出向量与向量.通过计算向量与向量的数量积，即可得到结论.
（2）当时，要求平面与平面所成锐二面角的余弦值，因为这两个平面的交线没画出来，所以用这两个平面的法向量的夹角的大小来表示. 平面的法向量较易表示，平面的法向量要通过待定系数法求得.由于求锐二面角，所以求法向量的夹角的余弦值取正的即可.

试题解析：以A为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则A₁（0，0，2），B₁（2，0，2）， M（0，2，1），N（1,1，0），

，
（1）∵，∴.
∴无论取何值， .          5分
（2）时，, .
而面 ，设平面的法向量为，
则 ,
设为平面与平面ABC所成锐二面角，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是         12分