Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5.

（Ⅰ）求证：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC₁存在点D，使得AD⊥A₁B，并求的值.

Answer 1

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

把平面与平面垂直转化为直线和平面垂直.要证直线和平面垂直，依据相关判定定理转化为证明直线和直线垂直.求二面角，往往利用“作——证——求”的思路完成，作二面角是常常利用直线和平面垂直.第（Ⅲ）题，求解有难度，可以空间向量完成.
（Ⅰ）因为为正方形，所以.
因为平面ABC⊥平面AA₁C₁C，，且平面ABC平面AA₁C₁C，
所以⊥平面ABC.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，⊥AC, ⊥AB.
由题意知，所以.
如图，以A为原点建立空间直角坐标系,则.
设平面的法向量为，则即
令，则，所以.
同理可得，平面的法向量为.
所以.
由题知二面角A₁-BC₁-B₁为锐角，所以二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值为.

（Ⅲ）设是直线上的一点，且.
所以，解得，所以.
由，即，解得.
因为，所以在线段上存在点D，使得，此时.
【考点定位】本题考查了平面与平面垂直的性质定理，直线和平面垂直的判定定理，考查了法向量、空间向量在立体几何中的应用和二面角的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力.