Question

6．已知m∈R，直线l：mx-（m²+1）y-4m=0和圆C：x²+y²-8x+4y+16=0．
（1）求直线l的斜率k的取值范围；
（2）是否存在直线l和圆C交于M，N两点，且M，N把圆弧分割成1：3的两部分？如果存在，求出该直线l的方程，如不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）写出直线的斜率利用判别式求最值；
（2）M，N把圆弧分割成1：3的两部分，则CM⊥CN，确定圆心C到直线l的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，即可得出结论．

解答 解：（1）直线l的方程可化为y=$\frac{m}{{m}^{2}+1}$x-$\frac{4m}{{m}^{2}+1}$，斜率k=$\frac{m}{{m}^{2}+1}$，
即km²-m+k=0，k=0时，m=0成立；
又∵△≥0，∴1-4k²≥0，
所以，斜率k的取值范围是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．
（2）M，N把圆弧分割成1：3的两部分，则CM⊥CN．由（1）知l的方程为y=k（x-4），其中|k|≤$\frac{1}{2}$；
圆C的圆心为C（4，-2），半径r=2；圆心C到直线l的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$
∴k=±1
∴直线l的方程y=±（x-4）．

点评 本题考查直线与圆及不等式知识的综合应用，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．