Question

（本小题满分12分）已知平面上的动点及两定点、，直线、的斜率分别为、，且，设动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过点的直线与曲线交于两点M、N，过点作轴，交曲线于点.求证：直线过定点，并求出定点坐标.

Answer 1

（1）由题知，且，，则.

整理得曲线的方程为 5分

（2）设直线与轴交于，

则直线的方程为，记，，由对称性知，

由，消去得， 7分

所以，且，， 9分

由三点共线知，，即，所以，

整理得， 10分

所以，，即，解得，

所以直线过定点 12分

【解析】

试题分析（1）由题知x≠±2，且，，由直接法求出曲线C的方程．

（2）设NQ与x轴交于D（t，0），则直线NQ的方程为x=my+t（m≠0），记N（x1，y1），Q（x2，y2），由对称性知M（x2，﹣y2），由，得（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12=0，由此利用根的判别式，韦达定理、三点共线，结合已知条件能证明直线NQ过定点D（1，0）．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．