Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），其中ω＞0．
（1）当A=ω=2，φ=

π

6

时，函数g（x）=f（x）-m在[0，

π

2

]上有两个零点，求m的范围；
（2）当A=1，φ=

π

6

时，若函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于

π

2

，求函数f（x）的解析式，并求最小正实数n，使得函数f（x）的图象向左平移n个单位所对应的函数是奇函数．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=m在[0，

π

2

]上有两个交点，数形结合求得m的范围．
（2）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得y=sin（2x+2n+

π

6

）为奇函数，可得2n+

π

6

=kπ，k∈z，由此求得n的最小值．

解答： 解：（1）当A=ω=2，φ=

π

6

时，f（x）=2sin（2x+

π

6

），
则由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=m在[0，

π

2

]上有两个交点，
如图所示：
故m的范围为[1，2）．
（2）当A=1，φ=

π

6

时，若函数f（x）=sin（ωx+

π

6

），图象的相邻两条对称轴之间的距离等于

π

2

，
可得

2π

ω

=2×

π

2

，ω=2，故f（x）=sin（2x+

π

6

）．
把函数f（x）的图象向左平移n个单位所对应的函数的解析式为
y=sin[2（x+n）+

π

6

]=sin（2x+2n+

π

6

），
再根据y=sin（2x+2n+

π

6

）为奇函数，
可得2n+

π

6

=kπ，k∈z，
故n的最小值为

5π

12

．

点评：本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，正弦函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．