Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若BC⊥AC，∠A=

π

3

，AC=4，AA₁=4，M为AA₁的中点，点P为BM中点，Q在线段CA₁上，且A₁Q=3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PQ与AC所成角的正弦值．

解答： 解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
则由题意得A（0，4，0），C（0，0，0），
B（4

3

，0，0），M（0，4，2），A₁（0，4，4），
P（2

3

，2，1），

CQ

=

1

4

CA1

=

1

4

（0，4，4）=（0，1，1），
∴Q（0，1，1），

AC

=（0，-4，0），

PQ

=（-2

3

，-1，0），
设异面直线PQ与AC所成角为θ，
cosθ=|cos＜

AC

，

PQ

＞|=|

4

4 13

|=

13

13

，
∴sinθ=

1- 1 13

=

2 39

13

．
故答案为：

2 39

13

．

点评：本题考查异面直线PQ与AC所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．