Question

已知a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n=1，2，3…
（1）证明数列{lg（1+a_n）}是等比数列
（2）设T_n=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n），求T_n及数列{a_n}的通项
（3）记b_n=

1

an

+

1

an+2

，设数列{b_n}的前n项和S_n，证明

3

4

≤Sn＜1．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）把点（a_n，a_n+1）代入函数式，整理得a_n+1+1=（a_n+1）²，两边取对数整理得

lg(1+an+1)

lg(1+an)

=2，进而判断{lg（1+a_n）}是公比为2的等比数列，；
（2）根据等比数列的通项公式求的数列{lg（1+a_n）}的通项公式，进而求的a_n代入到T_n=（1+a₁）（1+a₂）（1+a_n）求的T_n；
（3）将a_n+1=a_n²+2a_n因式分解后取倒数，再裂项得到

1

an+2

=

1

an

-

2

an+1

，代入b_n化简后再利用相消法求出S_n，再根据n的取值和式子的特点求出其范围．

解答： 解：（1）由已知a_n+1=a_n²+2a_n，∴a_n+1+1=（a_n+1）²
∵a₁=2
∴a₁+1=3＞1，两边取对数得lg（1+a_n+1）=2lg（1+a_n），
即

lg(1+an+1)

lg(1+an)

=2，
∴{lg（1+a_n）}是lg3为首项，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知lg（1+a_n）=2^n-1•lg3=lg32n-1，
∴1+an=32n-1，则an=32n-1-1
∴T_n=（1+a₁）（1+a₂）（1+a_n）=320•321•322…32n-1
=31+2+22+…+2n-1=32n-1，
（3）∵a_n+1=a_n²+2a_n，∴a_n+1=a_n（a_n+2），
∴

1

an+1

=

1

an(an+2)

=

1

2

(

1

an

-

1

an+2

)，
则

1

an+2

=

1

an

-

2

an+1

，
∴bn=

1

an

+

1

an+2

=

2

an

-

2

an+1

，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=2[（

1

a1

-

1

a2

）+（

1

a2

-

1

a3

）+…+（

1

an

-

1

an+1

）]
=2（

1

a1

-

1

an+1

），
∵an=32n-1-1，a1=2，an+1=32n-1
∴S_n=1-

2

32n-1

＜1，且随着n的增大而增大，
∵n=1，2，3…，
∴当n=1时，S_n有最小值是1-

2

32-1

=

3

4

故

3

4

≤Sn＜1．

点评：本题主要考查了等比关系的确定和数列的求和问题，考查了学生对数列知识的综合掌握，灵活化简、变形能力．