Question

若不等式|mx³-lnx|≥1（m＞0），对?x∈（0，1]恒成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：根据绝对值不等式的性质，结合不等式恒成立，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数以及函数的最值即可．

解答： 解：|mx³-lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立
等价为mx³-lnx≥1，或mx³-lnx≤-1，
即m≥

1+lnx

x3

，记为f（x），或m≤

lnx-1

x3

，记为g（x），
f'（x）=

1 x •x3-3x2(1+lnx)

x6

=

-2-3lnx

x4

，
由f'（x）=

-2-3lnx

x4

=0，
解得lnx=-

2

3

，即x=e-

2

3

，
由f（x）＞0，解得0＜x＜e-

2

3

，此时函数单调递增，
由f（x）＜0，解得x＞e-

2

3

，此时函数单调递减，
即当x=e-

2

3

时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值f（e-

2

3

）=

1+lne- 2 3

(e- 2 3 )3

=

1- 2 3

e-2

=

1

3

e2，此时m≥

1

3

e2，
若m≤

lnx-1

x3

，
∵当x=1时，

lnx-1

x3

=0，
∴当m＞0时，不等式m≤

lnx-1

x3

不恒成立，
综上m≥

1

3

e2．
故答案为：m≥

1

3

e2．

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数，利用函数的导数和最值之间的关系，利用参数分离法是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．