Question

已知函数f（x）=log₂（k•2^x+1-2），k∈R．
（1）当k=1时，求函数f（x）的定义域；
（2）当k=3是，求函数f（x）的零点；
（3）若函数f（x）在区间[0，10]上总有意义，求k的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）当k=1时，f（x）=log₂（2^x+1-2），从而得到2^x+1-2＞0，从而求函数f（x）的定义域；
（2）当k=3时，f（x）=log₂（3•2^x+1-2），则3•2^x+1-2=1解出函数f（x）的零点；
（3）由函数f（x）在区间[0，10]上总有意义可得k•2^x+1-2＞0[0，10]上恒成立，从而求解．

解答： 解：（1）当k=1时，
故2^x+1-2＞0，
解得，x＞0，
即函数f（x）的定义域为（0，+∞）；
（2）当k=3时，f（x）=log₂（3•2^x+1-2），
令3•2^x+1-2=1解得，
x=0，
故函数f（x）的零点为0；
（3）∵函数f（x）在区间[0，10]上总有意义，
∴k•2^x+1-2＞0[0，10]上恒成立，
∴

2k-2＞0 k•211-2＞0

，
故k的取值范围为（1，+∞）．

点评：本题考查了函数的性质应用，属于基础题．