Question

14．已知定义域为R的函数f（x）=$\frac{{-{2^x}+b}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）已知f（x）在定义域上为减函数，若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0（k为常数）恒成立．求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用奇函数定义f（-x）=-f（x）中的特殊值求a，b的值；
（Ⅱ）首先确定函数f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）是定义在R的奇函数，所以f（-x）=-f（x）
令x=0，f（0）=-f（0），f（0）=0
令x=1，f（-1）=-f（1），
所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{-{2^0}+b}}{2'+a}=0}\\{\frac{{-{2^{-1}}+b}}{{{2^0}+a}}=-\frac{{-{2^1}+b}}{{{2^2}+a}}}\end{array}$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}$；
（Ⅱ）经检验，当a=2，b=1时，f（x）为奇函数．
所以f（t²-2t）＜-f（2t²-k）
因为f（x）是奇函数，所以f（t²-2t）＜f（k-2t²）
因为f（x）在R上单调减，所以t²-2t＞k-2t²
即3t²-2t-k＞0在R上恒成立，所以△=4+4•3k＜0
所以k＜-$\frac{1}{3}$，即k的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{3}$）．

点评 本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略．