Question

12．以直角坐标系原点O为极点，x轴正方向为极轴，已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cost}\\{y=sint}\end{array}\right.$（t为参数），C₂的极坐标方程为ρ²（1+sin²θ）=8，C₃的极坐标方程为θ=α，α∈[0，π），ρ∈R，
（1）若C₁与C₃的一个公共点为A（异于O点），且|OA|=$\sqrt{3}$，求α；
（2）若C₁与C₃的一个公共点为A（异于O点），C₂与C₃的一个公共点为B，求|OA|•|OB|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由曲线C₁的参数方程求得直角坐标方程，即可求得极坐标方程，与曲线C₃联立，即可求得ρ₁，ρ₂，由|OA|=丨ρ₁-ρ₂丨，即可求得α；
（2）联立C₁与C₃的极坐标方程．即可求得丨OB丨，则|OA|•|OB|=丨2cosα丨$\sqrt{\frac{8}{1+si{n}^{2}α}}$，化简即可求得|OA|•|OB|的取值范围．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cost}\\{y=sint}\end{array}\right.$（t为参数），则直角方程为（x-1）²+y²=1，
极坐标方程为ρ=2cosθ，联立极坐标方程$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2cosθ}\\{θ=α}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{1}=2cosα}\\{{ρ}_{2}=0}\end{array}\right.$，
由|OA|=$\sqrt{3}$=丨ρ₁-ρ₂丨=丨2cosα丨，
解得cosα=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则α=$\frac{π}{6}$或α=$\frac{5π}{6}$．   （5分）
（2）联立C₁与C₃的极坐标方程为$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}（1+si{n}^{2}θ）=8}\\{θ=α}\end{array}\right.$，丨OB丨=丨ρ丨=$\sqrt{\frac{8}{1+si{n}^{2}α}}$，
当α=$\frac{π}{2}$时，O与A重合，所以α≠$\frac{π}{2}$，则
|OA|•|OB|=丨2cosα丨$\sqrt{\frac{8}{1+si{n}^{2}α}}$=4$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{co{s}^{2}θ}{1+si{n}^{2}θ}}$=4$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{co{s}^{2}α}{2-co{s}^{2}α}}$=4$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{1}{\frac{2}{co{s}^{2}θ}-1}}$，
∴|OA|•|OB|∈（0，4$\sqrt{2}$]，
|OA|•|OB|的取值范围∈（0，4$\sqrt{2}$]．             （10分）

点评 本题考查圆的参数方程与普通方程及极坐标方程的转化，考查转化思想，属于基础题．