Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²-2x+m的图象经过第一，二，三，四象限，则实数m的取值范围是-$\frac{10}{3}$＜m＜$\frac{7}{6}$．

Answer 1

分析 求函数的导数，研究函数的极值，根据函数的图象经过第一，二，三，四象限等价为函数的极大值f（-2）＞0，极小值f（1）＜0，解不等式即可．

解答 解：函数的导数f′（x）=x²+x-2=（x-1）（x+2），
由f′（x）＞0得x＞1或x＜-2，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得-2＜x＜1，此时函数单调递减，
则当x=-2时，函数取得极大值f（-2）=-$\frac{8}{3}$+$\frac{4}{2}$-2×（-2）+m=$\frac{10}{3}$+m，
当x=1时，函数取得极小值f（1）=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-2+m=m-$\frac{7}{6}$，
若函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²-2x+m的图象经过第一，二，三，四象限，
则等价为函数的极大值f（-2）＞0，极小值f（1）＜0，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{10}{3}+m＞0}\\{m-\frac{7}{6}＜0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m＞-\frac{10}{3}}\\{m＜\frac{7}{6}}\end{array}\right.$，
即-$\frac{10}{3}$＜m＜$\frac{7}{6}$，
故答案为：-$\frac{10}{3}$＜m＜$\frac{7}{6}$

点评 本题主要考查函数图象的应用，根据条件转化为函数的极值与0的关系是解决本题的关键．