Question

16．已知a、b为正实数，且$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=2，若a+b-c≥0对于满足条件的a，b恒成立，则c的取值范围为$（-∞，\frac{3+2\sqrt{2}}{2}]$．

Answer 1

分析 a+b-c≥0对于满足条件的a，b恒成立，可得c≤（a+b）_min=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a、b为正实数，且$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=2，
∴a+b=$\frac{1}{2}$（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{2}{b}）$=$\frac{1}{2}$（3+$\frac{b}{a}$+$\frac{2a}{b}$）≥$\frac{1}{2}$（3+2$\sqrt{\frac{b}{a}×\frac{2a}{b}}$）=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当b=$\sqrt{2}$a=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$时取等号．
∴a+b-c≥0对于满足条件的a，b恒成立，
∴c≤（a+b）_min=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．
∴c的取值范围为$（-∞，\frac{3+2\sqrt{2}}{2}]$．
故答案为：$（-∞，\frac{3+2\sqrt{2}}{2}]$．

点评 本题考查了基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．