Question

已知函数f(x)=

ax+b，x＞1 (a+b)x，-1≤x≤1 -a-x-b，x＜-1

(a＞0，且a≠1，b∈R)．
（1）若b=-2且f（x）为R上的增函数，求a的取值范围；
（2）若2≤a≤4且f（x）有且仅有三个零点，求b的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得，f1(x)=ax+b，x＞1，f₂（x）=（a+b）x，-1≤x≤1，f3(x)=-a-x-b，x＜-1同时为增函数，又

f3(-1)=f2(-1) f2(1)=f1(1)

，可得a＞-b，所以b=-2时，a＞2
（2）由题意可得当2≤a≤4时，y₁=f₁（x），y₂=f₂（x），y₃=f₃（x）各有一个零点，故有f（-1）＞0＞f（1），故有b＜-a．再根据（-a）_min=-4，得b＜-4

解答： 解：（1）f（x）为R上的增函数，
需满足：f1(x)=ax+b，x＞1，f₂（x）=（a+b）x，-1≤x≤1，f3(x)=-a-x-b，x＜-1同时为增函数，
又

f3(-1)=f2(-1) f2(1)=f1(1)

，
∴

a＞1 a+b＞0

，即a＞-b．
∴b=-2时，a＞2，
故所求的a的范围是（2，+∞）．
（2）当2≤a≤4时，f1(x)=ax+b，x＞1，f3(x)=-a-x-b，x＜-1均为增函数，
欲使函数y=f（x）有且仅有三个零点，
则需y₁=f₁（x），y₂=f₂（x），y₃=f₃（x）各有一个零点，
∴f（-1）＞0＞f（1），
即-（a+b）＞0＞（a+b），∴
b＜-a．
又当2≤a≤4时，（-a）_min=-4，
∴b＜-4为所求，
即b的范围为（-∞，-4）．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数的单调性的应用，属于中档题．