Question

20．已知直线l经过直线l₁：2x-y-1=0与直线l₂：x+2y-3=0的交点P，且与直线l₃：x-y+1=0垂直．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线l与圆C：（x-a）²+y²=8相交于P，Q两点，且$|PQ|=2\sqrt{6}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）直线l₁：2x-y-1=0与直线l₂：x+2y-3=0联立方程组，求出交点P（1，1），由l⊥l₃，求出斜率k_l=-1，由此能求出直线l的方程．
（2）圆心C到直线l的距离为$d=\frac{|a-2|}{{\sqrt{2}}}$，由$|PQ|=2\sqrt{6}，r=2\sqrt{2}$，得到$d=\sqrt{{{（2\sqrt{2}）}^2}-{{（\sqrt{6}）}^2}}=\sqrt{2}$，由此能求出a的值．

解答 （12分）
解：（1）直线l经过直线l₁：2x-y-1=0与直线l₂：x+2y-3=0的交点P，
由$\left\{\begin{array}{l}2x-y-1=0\\ x+2y-3=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.$，所以P（1，1）．
因为l⊥l₃，所以k_l=-1，
所以直线l的方程为y-1=-（x-1），即x+y-2=0．（6分）
（2）由已知可得：圆心C到直线l的距离为$d=\frac{|a-2|}{{\sqrt{2}}}$，
因为$|PQ|=2\sqrt{6}，r=2\sqrt{2}$，所以$d=\sqrt{{{（2\sqrt{2}）}^2}-{{（\sqrt{6}）}^2}}=\sqrt{2}$，
所以$\frac{|a-2|}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}，即|a-2|=2$，
解得a=0或a=4．（12分）

点评 本题考查直线方程的求法，考查实数值的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．