Question

△ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b²=3ac，
（1）求A；
（2）若a=1，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由A，B，C成等差数列，利用等差数列的性质及内角和定理求出B的度数，利用余弦定理列出关系式，整理表示出a，利用正弦定理化简，求出A的度数即可；
（2）把a的值代入已知等式，得到关系式，分A=90°和A=30°两种情况求出bc的值，进而求出三角形ABC的面积．

解答： 解：（1）∵A，B，C成等差数列，
∴2B=A+C，
∵A+C+B=180°，
∴3B=180°，即B=60°，
∴A+C=120°，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac，
∵2b²=3ac，
∴2（a²+c²-ac）=3ac，即（a-2c）（a-

c

2

）=0，
解得：a=2c或a=

c

2

，
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：

a

c

=

sinA

sinC

=

sinA

sin(120°-A)

=2或

1

2

，
整理得：

3

cosA=0或3sinA=

3

cosA，即tanA=

3

3

，
解得：A=90°或30°；
（2）∵a=1，2b²=3ac，
∴2b²=3c①，
当A=90°时，△ABC为直角三角形，
∴b²+c²=a²=1②，
联立①②解得：b=

3

2

，c=

1

2

，
此时S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

8

；
当A=30°时，由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即1=b²+c²-

3

bc③，
联立①③得：bc=2

3

，
此时S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．