题目内容

已知椭圆，且C1，C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点。

（1）求椭圆的焦点坐标及m=0，时的焦点坐标；

（2）当AB⊥x轴时，判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；

（3）是否存在m，p的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m，p的值；若不存在，请说明理由。

 

【答案】

 

（1）

（2）存在

（3）

【解析】解：（1）椭圆的焦点坐标（-1，0），（1，0）      …………2分

当m=0、 时，

C2的焦点坐标为，        …………4分

 （2）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0。

      ∵C1的右焦点坐标为（1，0），∴直线AB的方程为x=1。

∴点A的坐标为，

∵点A在抛物线上，

此时，C2的焦点坐标为，该焦点不在直线AB上。…………8分

假设存在m，p使抛物线C1的焦点恰在直线AB上。

（3）由（I）知直线AB的方程为，

由          ①

设A、B的坐标分别为是方程①的两个根，

由               ②

，

将③代入②，得，③

也是方程③的两个根，[来源:]

④

又直线AB过C1，C2的焦点，

⑤

由④⑤，得

解得

由上可知，满足条件的m，p存在，且…………13分

 

练习册系列答案
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已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
3
，直线l：x-y+
5
=0与椭圆C1相切．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直与椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（3）若A（x1，2），B（x2，y2），C（x0，y0）是C2上不同的点，且AB⊥BC，求实数y0的取值范围．
精英家教网定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C1：
x2
4
+y2=1．
（1）若椭圆C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判断C2与C1是否相似？如果相似，求出C2与C1的相似比；如果不相似，请说明理由；
（2）写出与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆Cb的方程；若在椭圆Cb上存在两点M、N关于直线y=x+1对称，求实数b的取值范围？
（3）如图：直线y=x与两个“相似椭圆”M：
x2
a2
+
y2
b2
=1和Mλ：
x2
a2
+
y2
b2
=λ2(a＞b＞0，0＜λ＜1)分别交于点A，B和点C，D，试在椭圆M和椭圆Mλ上分别作出点E和点F（非椭圆顶点），使△CDF和△ABE组成以λ为相似比的两个相似三角形，写出具体作法．（不必证明）
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F2的直线l1与C1交于A，B两点，且△ABF1的周长为4
2
，l1的倾斜角为α．
（I）当l1垂直于x轴时，|AF2|+|BF2|=2
2
|AF2|•|BF2|
①求椭圆C1的方程；
②求证：对于?α∈[0，π），总有|AF2|+|BF2|=2
2
|AF2|•|BF2|．
（II）在（I）的条件下，设直线l2与椭圆交于C，D两点，且OC⊥OD，过O作l2的垂线交l2于E，求E的轨迹方程C2，并比较C2与C1通径所在直线的位置关系．
已知椭圆C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)经过 点B(0，
3
)，且离心率为
1
2
，右顶点为A，左右焦点分别为F1，F2；椭圆C2以坐标原点为中心，且以F1F2为短轴端，上顶点为D．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）若C1与C2交于M、N、P、Q四点，当AD∥F2B时，求四边形MNPQ的面积．
（2013•广州一模）已知椭圆C1的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1（-2，0），F2（2，0），点A（2，3）在椭圆C1上，过点A的直线L与抛物线C2：x2=4y交于B、C两点，抛物线C2在点B，C处的切线分别为l1，l2，且l1与l2交于点P．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）是否存在满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点P的坐标）；若不存在，说明理由．

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